Решил проблему, и заключалась она в ином.
Оказалось, что для пользователя заббикс нужно было тоже задефайнить переменные окружения, которые показывают где лежит джава и тот софт, к которому обращается скрипт. Я не уточнял здесь, что они должны быть определены, я думал, они определяются в /etc/profile для всех пользователей сразу.
Определил эти переменные прямо в самом теле скрипта и все заработало.