Решил я эту проблему следующим образом:
Поскольку Webpack, что под капотом у vue-cli, никак не обрабатывает данные в папке public а просто их
копирует, то пришлось явно бращаться к переменной publicPath из скрипта:
`${process.env.BASE_URL}path/you/need/file/png` 
