Dante Faustoff

Работа с сертификатами бывает разная. Это может быть как просто использование сертификата на стороне сервера и дальнейшая проверка через центры сертификации, так и использование самоподписанных сертификатов, когда и клиент и сервер имеют один сертификат и обмениваются ими при подключении. Первый вариант проще, второй бесплатный.
После этого нужно настроить веб контейнер. Вот тут есть хороший пример настройки TomCat'a. Собственно я использую двухфазную самоподписанную сертификацию.
После этого начнется "жара" =) Так как я пользуюсь самоподписанным сертификатом, то задача немного усложняется. Дело в том, что на стороне мобильного клиента необходима предварительная настройка контекста интернет соединения для работы с сертификатом. Соответственно идут клиент обращается серверам сертификации, чтобы проверить надежность ресурса. Но так как все самопальное, то приходиться настройки безопасности переводить в режим - доверять всему.
После этой настройки, контекст передается для создаваемого коннекта и регистрируется.
Приведу пример кода, выстраданного многими часами кропотливой работы

try{// Работа с SSL пробрасывает исключения, порой очень неприятные и непонятно как устранимые
   KeyStore keyStore = KeyStore.getInstance("Your_Type_Of_Certificate");//делаем хранилище ключей, аналогичное типу Вашего сертификата
   InputStream in = ...// крепим к потоку сам файл сертификата
   try{
      keyStore.load(in, "Your_Password".toCharArray());//грузим в хранилище сертификат, дополняя его паролем от сертификата
   }catch (Exception ex){
      Log.wtf("OMG",ex.getLocalizedMessage());//либо файла нет, либо пароль не тот
   }finally {
      in.close();
   }
   // Один из "столпов" клиентского SSL, отвечает за хранение всех сертификатов. Имеются разные варианты его настройки(разные алгоритмы)
   KeyManagerFactory kmf = KeyManagerFactory.getInstance(KeyManagerFactory.getDefaultAlgorithm());
   kmf.init(keyStore, "Your_Password".toCharArray());
   KeyManager[] keyManagers = kmf.getKeyManagers();

   //Второй элемент, который "должен" проверять, валидны ли наши сертификаты
   TrustManager[] wrappedTrustManagers = new TrustManager[]{
       new X509TrustManager() {
           public java.security.cert.X509Certificate[] getAcceptedIssuers() {
              return null;
            }
            public void checkClientTrusted(X509Certificate[] certs, String authType) { }
            public void checkServerTrusted(X509Certificate[] certs, String authType) {}
        }
   };
   SSLContext sslContext = SSLContext.getInstance("TLSv1");//Создаем контекст SSL по типу протокола
   sslContext.init(keyManagers, wrappedTrustManagers,  new java.security.SecureRandom());//инициализируем его
       return sslContext;// Радуемся =)
   }catch (Exception ex){
        Log.wtf("OMG", ex.getLocalizedMessage());// Печалимся ='(
        return null;
   }

После этого контекст можно использовать при создании соединений

//Устанавливаем контекст
   HttpsURLConnection.setDefaultSSLSocketFactory(методНаписанныйВыше().getSocketFactory());
    //Та самая "защита" которая говорит "мне плевать на всех, коннекчусь куда хочу". Виной этому самоподписанный сертификат.
   HostnameVerifier hostnameVerifier = org.apache.http.conn.ssl.SSLSocketFactory.ALLOW_ALL_HOSTNAME_VERIFIER;
   
   SchemeRegistry registry = new SchemeRegistry();

    SSLSocketFactory socketFactory = SSLSocketFactory.getSocketFactory();
    socketFactory.setHostnameVerifier((X509HostnameVerifier) hostnameVerifier);
    registry.register(new Scheme("Type_Of_Connection", socketFactory, 443));

    SingleClientConnManager mgr = new SingleClientConnManager(yourConnection.getParams(), registry);
    //Я работаю по https, по этому пример для него
    DefaultHttpClient httpClient = new DefaultHttpClient(mgr, yourConnection.getParams());

    HttpsURLConnection.setDefaultHostnameVerifier(hostnameVerifier);

За такой код я бы и сам себя убил, но увы, любые попытки его поправить к успеху не привели, я рукожоп)
Стоит заметить, что я использую библиотеки org.apache.http и другие deprecate вещи. Вам же я желаю сделать все по уму и красоте. Надеюсь помог)
Если будут вопросы, обращайтесь.

Ка дополнительный вариант ко всем предыдущим ответам, можно попробовать MyClass.this.

PS
Только я не пойму такой мудреной системы инстанцировать Activity в другом Activity.

Мы создадим Activity в другом Activity чтобы ты мог использовать Activity пока работает Activity =)