Spisoktem

сделайте для пагинации отдельный класс, через опции slick slider-а

$slider.slick({
    slidesToShow: 1,
    slidesToScroll: 1,
    speed: 400,
   dotsClass: "customDotsClass"
  });

и для него задавайте стили

если тут конкретно нужна стилизация, тогда все через css. работает с классом который создает slick и делаете вид под себя.
можно также кастомно задать класс для slick-dots, через options в js для вашего слайдера - dotsClass: 'Ваш класс'

Создать два одинаковых popup окна и каждой присвоить свой модификатор:

<div class="popup popup--one" id="one">Чат</div>
        <div class="popup popup--two" id="two">Чат</div>

Через модификатор для каждого прописать в стилях нужный цвет сообщения в чате