Soo

После включения ЧПУ-адресов, почему-то вместо /web/index.php?r=site%2Fabout стали адреса типа /site/about

Для этого и включают ЧПУ, что бы они такими стали

Как убрать слово "site"?

настроить url manager, например так:
'<action>' => 'site/<action>'

Как подключить css и bootstrap-плагины, которые лежат на стандартных местах?

а при чем тут они? С ними все так же должно быть, как и без ЧПУ

CamelCase в YII2 разибивается через "-" если я ничего не путаю.

return $this->redirect(Url::toRoute('reset-password'));

А если убрать свойства что у вас есть в БД? для ActiveRecord модели можно опускать свойства, чтоб работала автоподстановка можно юзать php-doc

/**
 * Class User
 * @property $username string
 */
class User extends ActiveRecord implements \yii\web\IdentityInterface
{