1. Создание API-эндпоинта в Laravel.
public function index() {
    $items = Item::all();
    return response()->json($items);
}
// api.php
Route::get('/items', 'ItemController@index');
2. Создание компонента Vue.js. В коде используется axios для отправки HTTP-запросов 
npm install axios
// ItemSelect.vue
<template>
    <select v-model="selectedItem">
        <option v-for="item in items" :key="item.id" :value="item.id">
            {{ item.name }}
        </option>
    </select>
</template>
<script>
export default {
    data() {
        return {
            items: [],
            selectedItem: null
        }
    },
    mounted() {
        this.fetchItems();
    },
    methods: {
        fetchItems() {
            axios.get('/api/items')
                .then(response => {
                    this.items = response.data;
                })
                .catch(error => {
                    console.error(error);
                });
        }
    }
}
</script>