Скомбинировав коментарии выше вот мое решение:
1. Открываем DevTools
2. Наводим на элемент , при наведении на который выпадает меню, меню - выпадает
3. Инспектируем выпавшее меню Ctrl+Shift+C
4. Нажимаем на меню правой кнопкой, активируя браузерное меню
5. Спускаемся в окно инспектора(выпавшее браузерное меню, не даст закрыться выпадающему меню)
6. Копируем в разметке элемент, выпадающего меню, я нажимал на Copy->Copy Element клавиатурой, без использования мыши, т.к. меню пропадало, при попадании мыши на страницу
7. В нужном месте вставляем элемент, аналогично вставлял клавиатурой, чтобы не закрыть выпадающее меню.
Все теперь, можно перейти на страницу и инспектировать любой элемент меню, оно не закроется
