Артур Ш

Скорее всего для a[href="#"] стоит display:block, а для a display:inline. В стилях для селектора a поставьте display:block

$(this) - это документ, у него нет атрибута checked
$(this).prop('checked', my_cookie);
Вам нужно при загрузке страницы проверять есть ли кука, если нет, то показать модалку. И повесить обработчик на изменение в чекбоксе, если он выбран, то нужно записать куку.

$(document).ready(function(){
    var my_cookie = $.cookie($('.modal-check').attr('name'));
    if (!my_cookie) {
         $('#myModal').modal('show');
    }

    $(".modal-check").change(function() {
        $.cookie($(this).attr("name"), $(this).prop('checked'), {
            path: '/',
            expires: 1
        });
    });
});

Если баннер это картинка (тэг img), то чтобы она точно не вылазила заграницы родительского блока добавьте ей класс img-fluid если bootstrap 4 или 5, или класс img-responsive. Для выравнивания по центру по оси x можно использовать сочетание классов mx-auto и d-block у тэга img. Либо d-flex+align-items-center+justify-content-center у родителя это подойдёт для 4 и 5 версии bootstrap, но это выровняет по центру все блоки внутри родителя. Ещё можно использовать абсолютное позиционирование. И в таких вопросах важны уже имеющиеся стили.