Aiogram, где лучше хранить данные?

Api tulanof, запросы тоже нужно будет написать асинхронно, это верно. В примере в комменте стоит функцию сделать асинхронной, конечно.
Если это вопрос про коннекты к БД, то там есть куча асинхронных библиотек (напр., asyncpg)

Aiogram, где лучше хранить данные?

Но вообще говоря, лучше сделать через БД, потому что потом можно будет проанализировать, как люди пользуются корзиной, куда тыкают, когда отваливаются…
И обычно сил БД хватает на то, чтобы нормально обрабатывать большой поток синхронных запросов в неё, просто нужно не забывать закрывать коннекты.