Можно решить несколькими способами.
Например, добавить в передаваемую модель флаг "active" для слайдов:
<div class="carousel-item @(slider.IsActive ? "active" : "")">
Или добавить флаг-переключатель непосредственно в код представления:
@ model HomeVM
@ bool isFirstSlide = true;
@ foreach (Slider slider in Model.Sliders)
{
<div class="carousel-item @(isFirstSlide ? "active" : "")">
<div class="bg-img"
style="background-image: url('../src/img/products/@slider.Image')"></div>
</div>
isFirstSlide = false;
}
