Григорий К.

Ты нигде не показываешь, как делаешь экспорт.

Сами по себе CommonJS модули уже реализуют Singleton.

// app/app.js
const Shop = require("./files/Shop");
const shop = new Shop();

module.exports = shop;

// app/files/Fruits.js
const shop = require('../app'); // shop, созданный в app.js, будет всегда один и тот же

При подключении файла require('../app'); заново, будет получен тот же самый shop.

Если ты хочешь получить shop из модуля Shop, то ты можешь создать его один раз там и экспортировать.

На production они уже будут работать на одном порту.

На локалке в дев работают в браузере с приложением, которое поднято vue (webpack dev server, в вашем случае на 8080).

Чтобы запросы с приложения шли на сервер на nodejs достаточно добавить прокси в вебпак.
Во vue.conf.js (или как там конфиг называется) добавить в конфиг вебпака:

devServer: {
    proxy: {
      '/api': 'http://localhost:3000'
    }
}

Ссылка на доку по прокси в вебпаке

Ссылка на доку по конфигурированию вебпака во vue cli

Это всё, если у вас SPA.