Как правильно перестроить элементы?

Keany, так можно переделать, сделать один общий блок, внутри два блока. В одном блоке сделать кнопки с текстом, а во втором картинку. И через флекс сделать всю верстку.

Как сделать hover у вертикального градиента?

Через before и after, много примеров есть в интернете)
https://codepen.io/fabswt/pen/dEYXrK