Алексей

Не знаю как у вас там все настроено, но можете попробовать сделать следующее:

1. Дать доступ для всего каталога
   sudo chmod -R 750 /var/www/
   
   
2. Разрешить доступ к файлам вашего сервера
   
   Откройте файл apache2.conf, расположенный в
   /etc/apache2/apache2.conf
   
   Найдите строчку "Directory /var/www/" и напишите следующее
   

   <Directory /var/www/>
   	Options Indexes FollowSymLinks
   	AllowOverride All	
     Allow From All
   	Require all granted
   </Directory>

   
   
   Перезагрузил апач
   sudo service apache2 restart
   
   Все должно заработать
   
   

Как правильно сказал Максим Креативный, данные о сроке жизни токена отдаются в формате timestamp.

// Получаем данные о пользователе
$token_data = $client->verifyIdToken($access_token);
// Время создания токена
$iat = $token_data['iat'];
// Время окончания действия токена
$exp = $token_data['exp'];	
// Выводим время начала и окончания действия токена			
echo date('Y-m-d H:i', $iat)."  --  ".date('Y-m-d H:i', $exp);

Допусти вам пришел такой ответ:

"iat": 1454588648
"exp": 1454592248

Тогда после выполнения предыдущего кода вы увидите:
"2016-02-04 12:24 -- 2016-02-04 13:24"
Отсюда получаем время жизни токена равное 1 часу.

Все на самом деле очень просто. У вас ошибка в коде проверки токена. Используйте следующий код:

function getUserFromToken($token) {
    $client = new Google_Client();
    $client->setClientId(CLIENT_ID);
    $client->setClientSecret(CLIENT_SECRET);
    $client->setRedirectUri('');
    $client->setScopes('email');

   $user_data = $client->verifyIdToken($access_token);
   // Здесь работаете с json для получения конкретных данных
    }

Вам же написано:
No such file or directory.

Т.е. отсутствует файл autoload.php по тому пути, который вы прописали. Вам надо генерировать composer.json в корне вашего проекта. В вашем случае в консоле пропишите команду:

/var/www/html
composer require google/apiclient:^2.0.0@RC

В каталоге "html" у вас должна создаться папка composer и 2 файла (composer.lock и composer.json). После этого все должно заработать. Самое главное, чтобы 2 файла(composer.lock и composer.json) лежали в одной папке с вашим файлом index.php.