SPLATHER

for (int i = 1; i < 5000; i += 2) {
    sum += (pow(x, i) / (double)i - pow(x, i + 1) / (double)(i + 1));
    // смотрите, здесь у вас скомбинированы слогаемые разного знака.
    // но, если их растащить, получится сходящийся знакопеременный ряд,
    // а погрешность по модулю не превышает второе слогаемое.
}

// как-то так
double first, second = 1;
for (int i = 1; abs(second) > epsilon; i += 2) {
    first  = pow(x, i) / (double)i;
    second = pow(x, i + 1) / (double)(i + 1);
    sum += first - second;
}

update
чота ответ плюсуют безоглядно, и хоть бы кто сообразил, что ряд знакопеременный лишь при x>0.
Для x<0, т.е. для аргумента логарифма (1+х)<1, следует посчитать логарифм (как сумму ряда) для обратной величины, ну и знак поменять, конечно.