Сохранять в БД информацию о авторке модалки и айди сообщения присланной модалки, при нажатии на кнопку искать в БД это сообщение, находить по нему автора, после чего выдавать роль по полученной информации:
member = disnake.Guild.get_member()
role = disnake.Guild.get_role()
await member.add_roles(role)
По другому это сделать нельзя, кэш бота не сохраняет в себе информацию о авторах модалки.
