Промисы не бонусы, не сгорают.
Они или когда-нибудь зарезолвятся или никогда.
если я оставлю просто вызов без await - он пройдет?
не знаю что значит "пройдет". Функция вызовется, а что произойдет - зависит от этой функции.
Не будет ли программа завершена раньше, чем запрос будет осуществлен?
Если у вас что-то работает то не будет. обработка запроса - это просто вызов функции, то же самое как что-то сделать в setTimeout()
Повлияет ли на что-то наличие/отсутствие .then()
Повлияет на то как оно все будет работать. а какой будет результат зависит от того что вы напишете.
Вам бы про все это взять и почитать нормальную доку и разобраться.