Всю "телеграмщину" обычно делают на Python. Есть библиотека (дополнение, если простыми словами) которая позволяет парсить ютуб, в том числе и скачивать видео. Скорее всего бот на ней и работает.
На счет скорости - не знаю. Скорее всего на хостинге бота очень быстрый интернет. Или видео из ютуба не скачивается на сервер, а сразу передается пользователю
