RidgeA

где-то в сессию пользователя, например, ставить флаг, что такой-то запрос уже выполняется для пользователя.

с включенными короткими тегами php.net/manual/ru/function.echo.php

с <?= esc_html( $time_start ); ?> - до <?= esc_html( $time_end ); ?>

Один запрос выполняется последовательно.
Вместе с тем php-fpm или apache самостоятельно может поднять некоторое количество воркеров для обработки различных запросов параллельно (при этом каждый запрос выполняется независимо от других и ничего о них не знает).
До определенного момента можно пользоваться одним сервером, с грамотно настроенным nginx/php-fpm/apache.
После этого можно либо делать 2 и больше одинаковых сервака и балансировать межу ними нагрузку (при этом база, сессия должна быть одинаковая для обоих серваков), либо разделять приложение на независимые модули.

Конкретно в вашем случае я не знаю в чем проблема, но обычно такая проблема из-за маленького размера post_max_size в настройках php. Но в вашей форме нету большого количества данных

путь к интерпретатору php надо добавить в PATH

заинлайнить css (как минимум ту часть, которая используется на первом экране) - можно погуглить critical css

if ( mb_stripos($row['surname'], $surname, 0, "UTF-8") === 0 ) {
                $user_arr[] = $row['surname'];
            }