Как при нажатии на ссылку записать информацию в базу ruby on rails?

Конечно. В контроллере может быть любое количество методов с любыми названиями. Предположим, что у вас есть метод custom:

def custom
@result = Model.find(params[:id])
end

Тогда в файле config/routes.rb должна быть строчка

resources :controller do
collection do
get 'custom/:id'
end
end

Теперь можно обращаться по пути /controller/custom/id get-запросом и в метод custom будет передана переменная id в хэше параметров.

Как исправить ошибку в коде?

Я не совсем понимаю, что вы делаете. Сначала класс импортируется, потом он же определяется. Вам нужно либо использовать json.loads() для парсинга ответа от сервера, либо, если хотите делать это через класс, то унаследовать в этом классе то, что вы импортируете и добавить к нему __init__.

Какой фреймворк выбрать: Play! (java) или Flask (python)?

Для работы с базой на Flask проекте целесообразнее всего использовать SQLAlchemy (если речь идёт о реляционных базах). Другие ORM дают локальные преимущества либо скорость работы на конкретных задачах. Из аналогов можно посмотреть в сторону pewee. Алхимия довольно большой модуль, требует отдельной работы с миграциями, но даёт возможность реализовать работу практически с любой структурой базы и строить запросы произвольной сложности, практически не прибегая к чистому SQL.

Я, если честно, не встречал небольшие по функционалу и нагрузкам веб проекты на Java, так что сомневаюсь в целесообразности использования этого языка и в вашем случае. Питон очень простой язык. Тем более, если вы уже имеете неплохой опыт работы с другим языком. Новыми для вас могут быть только некоторые моменты реализации ООП, так как в питоне оно не такое строгое, как в том же Ruby или PHP, не говоря уже языках вроде Java или C#.

Когда я писал про 10 строк и один файл, то имел ввиду гибкость фреймворка. Понятно, что никто не станет писать весь проект в одном файле. Просто Flask, в отличии от многих других фреймворков, предоставляет гибкость и перекладывает планирование сайта на разработчика. Это не значит, что нет общепринятых решений по организации кода. Это значит лишь, что нет необходимости использовать какое-либо из них.

Если вас интересует организация проектов на Flask, то можете посмотреть вот это. Так же рекомендую поискать книгу от автора этого туториала. Там рассматривается разработка проекта на Flask с разнесением функционала по отдельным модулям. Плюс там приводятся примеры использования самых популярных модулей вроде Flask-Login или WTF для работы с формами.

Как сделать динамическое изменение ширины на jQuery?

Тут нужно смотреть на конкретный случай. Можно сохранять ширину в data атрибут либо глобальную переменную, а потом восстанавливать её до начального значения. Можно просто добавлять и удалять классы, с помощью которых скрывать/показывать меню и задавать основному содержимому 100%/80%(к примеру) ширину. Как я понял, ширина основного содержимого задаётся относительно ширины окна и последний вариант может неплохо подойти в вашем случае. Если нет, то опишите подробнее все исходные данные, чтобы можно было советовать что-то конкретное.