using System;
using System.Diagnostics;

namespace Example
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            if(args[0] == "-first")
            {
                Console.WriteLine("First Run");
                Process second_procces = new Process();
                second_procces.StartInfo.UseShellExecute = true;
                second_procces.StartInfo.FileName = @"Example.exe";
                second_procces.StartInfo.Arguments = "-second";
                second_procces.Start();
            }
            else if(args[0] == "-second")
            {
                Console.WriteLine("Second Run");
                Console.ReadLine();
            }
        }
    }
}

Для запуска нового процесса используйте класс Process и там же указывайте аргументы. через
StartInfo.Arguments = "ARGUMENT NAME"