...

Как минимум нужно по предоставленному API писать интеграцию для DLE

вот что удалось выяснить

Здравствуйте! Заменили строку
if ($_POST["submit"]) {

на

if (isset($_POST['submit'])) {

Теперь наблюдаются другие ошибки
[Tue Aug 22 09:12:48 2017] [error] [client 178.159.39.28] PHP Notice: Undefined index: name in /var/www/user150936/data/www/abika-nsk.ru/mail.php on line 5
[Tue Aug 22 09:12:48 2017] [error] [client 178.159.39.28] PHP Notice: Undefined index: tel in /var/www/user150936/data/www/abika-nsk.ru/mail.php on line 6

Как мы видим, переменные name и tel у Вас нигде не объявлены.

Попробуйте в самом файле прописать что-то типа
<meta charset="utf-8">
еще как вариант обратиться к хостеру, возможно решат проблему.

Да можно, но есть свои подводные камни, воспользуйтесь поисковиками