NonameMeTrue

Для клиентской части:

$.post('/youURL', $('form').serialize(), function (response) {
    //Code 200.
})

Лучше указать более точный селектор к нужной форме, например:

$('form#id').serialize()

На сервере проверить - пришли ли параметры(ключ = атрибут name в каждом теге input). Если есть - записать:

if(!empty($_POST['name']) && !empty($_POST['other'])) {
	$filename = 'GuestData.txt';
	$somecontent = $_POST['name']."\r\n";
	if (is_writable($filename)) {
		if (!$handle = fopen($filename, 'a')) {
			//die();
		}
		if (fwrite($handle, $somecontent) === false) {
			//die();
		}
		fclose($handle);
    //return some
	}
}

Это всего лишь пример. На серверной части укажите нужные вам параметры для полной работоспособности.