Что первым делом сделать сис админу на новом месте работы?

но почему-то при отправке со своей личной почты на рабочую выдает ошибку "Unrouteable address"(Гуглил, особого эффекта

Нужны MX-записи. Проверьте в панели управления доменом у хостера DNS-зону. Там должны быть МХ-записи или придется создать.

Основная проблема в том что на прогу hik-connect зарегана почта со своим доменом(Буду ее называть рабочая почта), к которому доступ утерян так как не продливали хостинг домена, я нашел этот домен зарегал его на год, добавил функцию почты с таким же именем как в проге hik-connect, не дало).

У hik-connect как и у многих приложений есть функция "Забыл пароль"... Можно попробовать восстановить пароль, при условии, что привязанная почта не менялась.