NewUser4242

Выводите элементы через v-for="(item,i) in items" (i это индексб мы будем проверять остаток от деления на 2, т.е является ли число парным)
Далее каждому проверку :class="i % 2 === 0 ? 'active' : '' "
И в стилях элементу с классом active(замените на нужный) пропишете фон)

С сликом такое часто бывает. Так же рекомендую почитать как работает 100% в CSS.
Ну а в данной ситуации или использовать max-width и тогда уже 100% будет работать. Или Слайд в еще одну обгортку из div вставлять

Сохранять в localstorage
Что-то типа этого, но нужно переделать

if(localStorage.getItem(login)) {
        JSON.parse(localStorage.getItem(login)).forEach(function (item) {
            cart.push(item);
        });