Narts

JS и мат. вычисления не сильно дружат друг с другом

background-position: top right - правый верхний угол

Прописать img с картинкой (по требованию заказчика), и присвоить ему display:none.
Далее в див background image и background size: cover

$(window).resize( function () {
if (window.innerWidth <= 576)

зачем?
С помощью CSS скрываете (display: none) выдвижной блок с меню, а в js ставите событие onclick toggleClass('opened') (условно) и slideToggle. И так же, стилями классу.

Через класс .opened указываете новые стили для бургера (крестик)

Подобная реализация сразу отбросит большинство вопросов и проблем, т.к. те, что Вы указали в вопросе

api

Я разбирался на этом примере. С учетом того, что в те времена я только только знакомился с пыхой, только эту библиотеку смог тогда осилить.

Зачем парсить другие сайты?
Находите площадку, которая сама предоставляет подобные данные по api (обычно json), и радуетесь, не боясь блокировок и велосипедов

Пропишите overflow:hidden

Сделать массив с информацией всех сотрудников, а при открытии попапа сотрудника, вытягивать его информацию из массива и вставлять в соответствующие места