Ошибки во всех трех местах :)

1. В форме добавить аттрибут name для контрола

<input id="fileInput" name="fileInput" type="file" />

2. Код в контроллере

[HttpPost]
        public ActionResult AddImage()
        {
            HttpPostedFileBase image = Request.Files["fileInput"];
            
            if (image != null && image.ContentLength > 0 && !string.IsNullOrEmpty(image.FileName))
            {
                string fileName = image.FileName;
                image.SaveAs(Path.Combine(Server.MapPath("Images"), fileName));
            }

            return View("Index");
        }

3. В принципе без cкрипта можно и обойтись, все отправится и так, по нажатию на кнопку. Но если уж используется jQuery то вполне достаточно следующего:

$(document).ready(function () {
    $('#btnFileUpload').click(function() {
        $('#fileUpload').submit(function(event) {
            // обработка событий по отправке формы
        });
    });
});