Muhona

Это ваше тождество хорошо бы доказать.

Но, так-то там числа фиббоначи, не превышающие 4000000. Их таких дай бог 100. Там можно их все считать по несколько раз- вы разницу скорости работы скрипта не измерите никак.

Что касается кода: ваш разбор случаев, что там больше - весьма странен. Код тяжело читать и он в несколько раз медленее, чем мог бы быть из-за постоянных вызовов максимума и минимума. Может даже медленнее простого вычисления чисел фиббоначи без пропусков нечетных.

Заведите вы третью временную переменную и считайте через нее, чтобы в цикле всегда n было большим числом (m = 4*n+b; b=n; n=m). Или вообще воспользуйтесь фишками питона и делайте множественное присвоение:
b, n = n, 4*n+b;

Чтобы узнать, почему не работает соединение или запрос, надо настроить РНР так чтобы он отображал ошибки, а mydsqli - чтобы оно бросало исключения.
То есть код должен выглядеть вот так

<?php
// видеть все ошибки!
ini_set('display_errors',1);
error_reporting(E_ALL);
 // подключаем настройки
require_once 'connect.php';

// включаем режим информирования об ошибках
mysqli_report(MYSQLI_REPORT_ERROR | MYSQLI_REPORT_STRICT);
// подключаемся к серверу
$link = mysqli_connect($host, $user, $password, $database);
// не забываем установить кодировку, чтобы не было ошибок с кракозябрами
$mysqli->set_charset('utf8mb4');
   
// выполняем операции с базой данных
$query ="SELECT * FROM foo";
$result = mysqli_query($link, $query);
// дальше делаем что нужно

// и кстати, в большинстве случаев закрывать подключение не надо

ЗЫ. На боевом сервере ошибки на экран выводить конечно не стоит, а их надо писать в лог (собственно, именно поэтому все эти die - это ужас). И на боевом сервере display_errors надо отключать, а log_errors наоборот - подключать.
Если совсем не можешь найти, где у сервера висит лог ошибок, можешь задать свой собственный, с помощью функции ini_set('error_log','/путь/к/файлу');. Но только размещать его надо разумеется в папке недоступной пользователям сайта


Если же говорить о конкретно этой проблеме, то это очень забавная ошибка, в которой смешалась куча старого карго культ кода, который и сам по себе использовать не стоит, и вдобавок он здесь написан неправильно.

Если разобраться, то код or die("Ошибка1 " . mysqli_error($link)); очень смешной (это не к тебе претензия, никто не ожидает от тебя понимания таких тонкостей, которые не то что новички, а половина здешних "кураторов" не понимают).
Что тут происходит?
слово or die (которое на самом деле вообще нельзя никогда писать) пишут тогда, когда ожидают что в переменной $link будет значение false. Но если в $link будет false, то тогда её бессмысленно подставлять в mysqli_error. Именно поэтому для получения ошибки соединения в мускули есть отдельная специальная функция.

Но как я говорил выше, применять её не следует, как и or die.