Владимир Коротенко, внимательнее перечитайте вопрос и если у вас нет знаний aiohttp, прошу не отвлекать бессмысленными ответами, которые никак не решают проблемы.
Это вам, что не понятного, я задал вопрос: "Почему из одного запущенного приложения я могу работать только с 2 сессиями?" Ммм... Написать что 429 ответ сервера это слишком большое количество запросов(что и написано в вопросе), было отличной идеей. Вам нужно использовать больше 2 сессий в одной запущенной программе? Так используйте 2!!!
Написано
Войдите на сайт
Чтобы задать вопрос и получить на него квалифицированный ответ.