Используй $emit чтобы изменить свойство isOpen, свойства нельзя менять напрямую внутри компонента для этого существуют пользовательские события. А вообще это написано в доках
Vue это фронтэнд и он предназначен для отображения интерфейса и все без какой то логики, с него не возможно отправить письмо, пиши бекенд и отправляй оттуда