Игорь Герасимович

Вот пример

Да. Вы можете взять Selenium + phpunit webdriver и на их базе реализовать желаемый функционал codeception.com/11-12-2013/working-with-phpunit-an...

Либо голый php-webdriver https://github.com/facebook/php-webdriver и к нему что-нибудь прикрутить.

Нет. Нельзя. Вам нужен бот, который пойдет на другой сайт и вобьет нужные вам данные в инпуты.