Merzley

Перенесите session_start() в начало файла. Дело в том, что до вызова session_start() переменной $_SESSION вообще не существует. Поэтому выполнение функции save_file() всегда выглядит так:

• Пустая ли переменная $_SESSION['files'] - всегда да, т.к. переменной $_SESSION не существует
  
• запускаем сессию - появляется переменная $_SESSION, в которой есть элемент ['files'], хранящий данные из прошлого запроса
  
• очищаем элемент ['files'] - стирается всё, что приходило в прошлых запросах
  
• помещаем туда данные текущего запроса
  

При последующих запросах всё повторяется, поэтому и получается, что в сессии только одна запись сохраняется

Попробуйте так:

$url = file_get_contents ('https://newvideo.tv/api/category-list?api_key=[your_api_key]&cat=film');
$decode_url = json_decode($url, true);

foreach($decode_url['data'] as $id){
    $currentId = $id['kinopoisk_id'] ;

    $url2 = file_get_contents ('https://newvideo.tv/api/videos?api_key=[your_api_key]&kinopoisk_id='.$currentId);
    $decode_url2 = json_decode($url2, true);

    foreach($decode_url2['data'] as $full_info){
        echo $full_info['title_ru']; echo '<br>';
        echo $full_info['year']; echo '<br>';
        echo $full_info['poster']; echo '<br>';
        echo '<hr>';
    }
}

UPD
Единственное, 9к запросов за дополнительной информацией могут занять достаточно продолжительное время. Для генерации страниц на лету такой вариант не подходит.

UPD2
Во втором запросе забыл поменять $id['kinopoisk_id'] на $currentId

Согласен с предыдущим ответом про докер. Но если хочется все-таки конфигами обойтись, то в Apache это делается достаточно просто. В nginx тоже, просто с ходу не напишу как. В общем, для Apache:
Под каждый проект делается отдельный VirtualHost с отдельным конфигом в папке /etc/apache2/sites-available. И для каждого VirtualHost`a можно прописывать изменения стандартного конфига PHP. Эти изменения будут применяться только для запросов к этому VirtualHost`у.
Вот что у меня было прописано для битрикса:

php_admin_flag short_open_tag On
        php_admin_value opcache.revalidate_freq 0
        php_admin_value mbstring.func_overload 2
        php_admin_value mbstring.internal_encoding UTF-8
        php_admin_value max_input_vars 10000
        php_admin_value upload_max_filesize 5M

Для изменения версии PHP достаточно отключить модуль Apache с одной версией, а с другой - подключить:
sudo a2dismod php7.2 && sudo a2enmod php7.0

Можно сделать так:

//$arr - изначальный массив

        $arExistsTest = [];
        //здесь используется ссылка (&), чтобы можно было удалять вложенный ключ напрямую
       //т.е. чтобы можно было сделать "unset($value['TEST'])", 
       //а не "unset($arr[$key]['TEST'])"
        foreach ($arr as &$value){
            $currentTestValue = $value['TEST'];
            if (isset($arExistsTest[$currentTestValue]))
                unset($value['TEST']);
            else
                $arExistsTest[$currentTestValue] = true;
        }

        //На данном этапе из массива $arr были удалены 
        //все повторяющиеся значения "TEST",
        //встретившиеся второй раз и далее