Воспользуйтесь appendArrows:$('.carousel-submenu')
появятся 2 кнопки button сверху и снизу как раз в тех местах где это вам надо а для sub-menu_item - slick сам добавит обертку
эти кнопки потом можно стилизовать как угодно у button шрифт сделать 0px
и добавить псевдоэлементы button, то же самое можно сделать и с точками.
Это наверное не совсем подходящее решение для вас, но работать будет.