Оказывается это сделать очень легко.
Во фрагменте, внутри onViewCreated:
просто выполнить нужную функцию вот так: new DownloadJSON().execute();
Перед этим весь код этой функции поместить вместе с кодом фрагмента, но изменить
MainActivity.this (в 2-х местах) - на getActivity().
Но появилась другая проблема:
Как сделать чтобы new DownloadJSON().execute() выполнялся только один раз?
Сейчас он выполняется каждый раз при вызове фрагмента.