Максим Козлов

Из мануала поле data - объект.

$.ajax({
  method: "POST",
  url: "some.php",
  data: { name: "John", location: "Boston" }
})
  .done(function( msg ) {
    alert( "Data Saved: " + msg );
  });

Или напишите так:

function giveMeUsername(user_id) {
    $.ajax({
    	type: "GET",
    	url: "/engine/ajax/givemeuser.php?user_id="+user_id, // Имя файла к которому будет идти AJAX запрос
    	   	success: function(data){
            alert(data); // Итог: Алерт с Именем пользователя
    	}
    });
}

проверьте так же приходит ли ID пользователя
$user_id = intval($_GET['user_id']);
echo $user_id;