C# - это серверный язык, он работает на бэкенде и генерирует страницу и прочее. local storage - это локальное хранилище данных в браузере, а в последнем работает JS - в данном случае на фронтенде. Если серверу надо получить данные из хранилища, то клиентский код должен забрать их и передать серверу через форму/ajax и прочее.