В общем-то, после внимательного изучения доков выяснилось, что content_script изрядно изолирован от страницы сайта, и среды выполнения (Execution environment) javascript полностью изолированы, а нестандартное свойство - ничто иное как свойство js объекта, а не чистого dom.
https://developer.chrome.com/extensions/content_sc... здесь предлагается использовать postMessage, но это сработает только в том случае, если и страница сайта и content_script "хотят" это делать, т.е. на сайте должен быть учтен механизм приема сообщений. Можно попробовать создать объект script через createElement/appendChild из content_script, который будет поддерживать этот механизм и отдавать нужные данные.