Кодом не напишу, но вроде должно быть понятно так:
1. Перед вышеописанным кодом, добавь localStorage.getItem("some_value") и запиши его в переменную, но не забудь задать дефолтное значение для случая, когда там ничего нет еще. Также в localStorage можно хранить как в виде строки текущее значение, так и в виде числа или объекта (только тогда перед записью в localStorage сериализуй, а после считывание десериализуй соответственно)
2. После
let sidebarBtn = document.getElementById('sidebar_category');
let sidebarDisplay = document.querySelector('.sidebar_category');
выполни код, который скроет (или нет) сайдбар, в зависимости от того, что получилось в п.1.
3. После
sidebarDisplay.classList.toggle('d-none');
инвертируй значение, которое получилось в п.1. и запиши в localStorage
все.
методов волшебной автосинхронизации нет...