Иван Корюков

Важно понимать, что сначала отрабатывает PHP, который формирует и отдаёт html, а уже потом. Браузер, приняв этот html, рендерит его, ну и если у чего-то там display:none, то не показывает этого.
Вам надо сразу не генерировать этот div. Как это сделать зависит от того кода который у вас уже есть.

Нади использовать не запятые, а точки с запятой.

Используя ...$arr вы не получите ключи в массиве. Поэтому почему бы не сделать третий агрумент обычным агрументом, и не передавать туда массив, который без изменений будет передаваться в execute?

public function query($sql, $class, $params){ // $params = [":age"=>20]
        $sth = $this->dbh->prepare($sql);
        $res = $sth->execute($params); // <----
        if (false !== $res) {
            return $sth->fetchAll(\PDO::FETCH_CLASS, $class);
        }
        return [];
    }

$day_orders = $db->query("SELECT COUNT(*) as cnt FROM 'oc_order' WHERE 'date_add' >= CURDATE() ");
echo $day_orders['cnt'];

Просто используйте постраничную навигацию:

SELECT *, something FROM `news`
WHERE (некое условие для фильтрации по категориям) AND  date < "time of page hit"
ORDER BY `something` ASC
LIMIT 20, 20

Я добавил в этот запрос всего два маленьких изменения. Первое - задал смещение для LIMIT, его надо высчитывать на PHP и вставлять в запрос. Первая цифра это просто номер страницы минус один, умноженное на количество постов на странице (page_num-1)*page_size. Вторая цифра - как обычно, количество постов на странице.
Второе измененеие - добавил в where дополнительное условие: выбирать только те новости, которые уже были в базе, пользователь открыл страницу. Это необходимо, т.к. если в процессе подгрузки новостей добавится ещё одна, то страницы поедут (вы могли замечать это, когда листаете хабр и на следующей странице первым виден последний пост с предыдущей) и какая-то новость задублируется в общем списке на клиенте. Time of page hit должно храниться на клиенте и передаваться на сервер при подгрузке каждой следующей порции данных.

Этот метод не зависит от того как вы сортируете новости - по дате, рейтингу, любому другому полю... главное чтобы первая подргузка и все последующие сортировались одинаково.

А вам точно надо каждый раз делать run с одинаковым именем и без rm, а после этого exec?

После вызова mysql_query добавьте вызов mysql_error и посмотрите какую строку он вернёт.

Если хотите много динамики на странице, то смотрите в сторону SPA (Single Page Application), т.к. jQuery лапша с ростом количества динамических частей на старнице начнёт запутываться.
Но это отнюдь не "не очень сложное", т.к. мир SPA фреймворков это наверное одна из самых быстро развивающихся областей программирования.

У вас в запросе на добавление данных в БД используется переменная $screenshot, но нигде выше (в предьявленном куске кода) она не определяется.
Вам необходимо получить из супеглобального массива $_FILES данные о загруженном файле, там будут название, размер и путь до временного файла. Обычно, при загрузке файлов берут временный файл и копируют туда где он будет лежать, а путь до этого самого "туда" записывают в базу.
Загружать файл можно даже "на локальном ПК и установленном на нем Openserver".