Danila

во-первых в gulp.src лучше указать только главный файл index.html в который будут подключаться другие куски
во-вторых в документации написано, что плагин использует директиву с помощью которой распознаёт какой и куда файл "сувать"
для HTML:
<!--=include relative/path/to/header.html -->
судя по тому, что вы об этом ничего не написали думаю её нет

и тогда всё должно работать

папка удаляется потому что

gulp.task('clean', function() {
  return del('public');
});

пропишите

return gulp.src(['frontend/assets/{fonts,images}/**', 'frontend/assets/index.html'], {since: gulp.lastRun('assets')})