1. Вынести отправку следующего вопроса в отдельную функцию.
2. Если я правильно понимаю декоратор "@bot.callback_query_handler(func=lambda call: True)" будет отрабатывать по правильному ответу, а он у Вас над функцией которая проверяет нажал ли пользователькнопку "begin". Здесь значится нужно изменить декоратор на что-то типа "@bot.callback_query_handler(func=lambda c: c.data == 'begin')" и должен произойти первый вызов функции отправки нового вопроса.
3. Далее две функции с декораторами "@bot.callback_query_handler(func=lambda c: c.data == 'False')" и "@bot.callback_query_handler(func=lambda c: c.data == 'True')" коорые соотвественно возвращают пользователю или сообщение что он ответил неверно или новый вопрос(под декоратором True вызов функции отправки следующего вопроса).
Надеюсь понятно написал.