Попробуй в самом UserControl в ListBox указать привязку так:
<ListBox Name="_listBox"
ItemsSource="{Binding Items, RelativeSource={RelativeSource Mode=FindAncestor, AncestorType=UserControl}}"
/>
Вообще, если ты делаешь проект "для себя", то проще это всё делать через Mvvm паттерн. Привязки в таком случае очень удобно делать, и можно обходиться без DependencyProperty, и писать всю логику в ViewModel для нужного UC.