LeEnot

Смотря каков ваш бюджет.

Вообще, цены реально могут отличаться на порядки, в зависимости от студии.
Региональные будут сильно дешевле, Москва-Питер сильно дороже.
При наличии дизайна и backend будет, конечно, дешевле, но понадобится время на согласование деталей (доки по апи, необходимость адаптации дизайна под гайдлайны iOS/Android, есть ли у вас готовые экраны...)
Индивидуальные разработчики (фрилансеры) сделают дешево, но качество может страдать.
Если бюджет небольшой, до 500 тыр, я бы советовал поискать в Нижнем, там хорошие студии и делают не дорого.
Обязательно спросите, использует ли студия тесты, Unit, UI/UX и что для этого используется, определяется ли покрытие кода тестами. Без этого можно получить неподдерживаемый продукт и кучу проблем в будущем.

Т.е. вот так:

HttpPost httpost = new HttpPost("http://...");
httpost.setEntity(new StringEntity("{\"param_name\":\"param\"}"));
httpost.setHeader("Accept", "application/json");
httpost.setHeader("Content-type", "application/json; charset=UTF-8");
HttpResponse response = httpClient.execute(httpPost);

у вас не работает?

Зачем свой движок? CMS же использует какую-то БД - вероятнее всего, MySQL. Соответственно, вам нужно написать сервер API, который будет по запросу от мобильного приложения дергать данные из БД, оформлять их как-нибудь (JSON, ProtoBuf и т.п.) и отсылать приложению. Соответственно, ничего специально синхронизировать не нужно, просто разруливаете взаимодействие приложения и сайта на уровне БД.