LI4NOOST

Если я все правильно понял, тебе нужно поменять текст на кнопке, когда выбран определенный язык. Тогда будет примерно так:
Если прям по топроному то, создаем функцию, которая будет принимать язык и состояние, которое будет храниться:

const [currentLang, setCurrentLang]=useState("")
const setLang =(lang)=>{
setCurrentLang(lang)
}

Далее тебе нужно на каждую активную кнопку кинуть функцию с соответствующим параметром. К примеру:

<h1 className={AppButtonLanguage.Eng} onClick={()=>{setLang("Eng")}}>
            Eng </h1>

Ну а в нужном тебе месте это состояние подставляешь:

<h1 className={stylesHeader.languageSettingsText} onClick={MenuButton}>{currentLang}</h1>

А по хорошему делать конструкцию switch case. Ну и в функцию setLang, так же можешь сделать закрытие попапа своего