KPoseidon

Менять markup_inline надо было вначале, а по хорошему вообще сделать временную переменную, чтобы не стирать основной маркап, а потом менять сообщение. Код, если не поняли, о чём я:

elif call.data == 'back':
        back_markup = types.InlineKeyboardMarkup()
        btn_inline1 = types.InlineKeyboardButton(
            text='Что бот может?', callback_data='skills')
        btn_inline2 = types.InlineKeyboardButton(
            text='Как начать чат?', callback_data='start_chat')
        back_markup.add(btn_inline1, btn_inline2)

        bot.edit_message_text(chat_id=call.message.chat.id, message_id=call.message.message_id,
                              text=f'Привет <b>{call.message.from_user.first_name}</b>, в этом анонимном чате ты сможешь общаться с людьми, при этом не раскрывая свою личность и профиль в телеграм, это поможет не предвзято поговорить с собеседником. Но так же и он будет анонимным, и тебе не удасться узнать его личность, <b><em>ну разве что если ты сам у него не спросишь)</em></b>', parse_mode='html', reply_markup=back_markup)

Сделать телебот-класс асинхронным, а infinity_polling() запихнуть в метод asyncio.run()

в БотФазере настрой бота и отключи group privacy, чтобы бот спокойно видел все сообщения

Решение проблемы неожиданно нашлась в Stack Overflow:
Проблема оказывается в content_types, поэтому вот так вот всё выходило, код ниже из ресурса:

#
    @bot.message_handler(content_types=["new_chat_members"])
    def handler_new_member(message):
        user_name = message.new_chat_member.first_name
        bot.send_message(message.chat.id, f"Добро пожаловать, {user_name}!")