Как сделать обновление пары JWT токенов в Nuxt 3?

Тут важнее понять где именно вы вызываете запрос. В случае с серверным рендерингом запрос не пройдёт, так как на сервере нет куков. Есть такая дока на сайте Nuxt 3

И вот пример, должно работать:

/* This call will only be performed on the client */
const { pending, data: posts } = useFetch('/api/comments', {
  lazy: true,
  server: false
})