JokerGTS

Насчет своего браузера - вряд ли, только поддерживаемые селеном. В частности, у хрома можно использовать свою папку пользователя, (Chrome_data), в которую сохраняются все данные:

chrome_options.add_argument('user-data-dir=' + os.getcwd() + '\\Chrome_data\\')

Но перед сохранением чего-либо нужно запустить селен с аргументом выше и создать новый профиль (пользователя) браузера. После создания все данные будут храниться в папке.

Первый ответ в поисковике

from selenium import webdriver

PROXY = "23.23.23.23:3128" # IP:PORT or HOST:PORT

chrome_options = webdriver.ChromeOptions()
chrome_options.add_argument('--proxy-server=%s' % PROXY)

chrome = webdriver.Chrome(options=chrome_options)
chrome.get("http://whatismyipaddress.com")

Для нескольких экземпляров webdriver можно запускать каждый на разном порте.

Эта функция JS передает переменную val (значение элемента #inp) в Python-функцию

async function send () {
    let val = document.getElementById('inp').value;
    await eel.take_py(val)();
}

Тут функция из Python принимает значение val из JS и записывает в глобальную переменную txt.

@eel.expose
def take_py(txt_in):
    global txt
    txt = txt_in

Пришлось покопаться в pywinauto, разобрался с помощью auto_id.

Можно, но только нужно знать как составить post/get запрос к сайту.