Как интегрировать FastAPI с aiogram для работы с вебхуками?

У меня так же реализовано. Но в таком случае пропадает ассинхроность.
Имею ввиду следующее: пользователь №1 (User1) сделал запрос, бот его обрабатываем, но если в это же время еще один пользователь №2 (User2) сделает запрос, то бот не получит запрос, пока всё, что нужно User1 не будет выполнено. И вот мы отправили ответ User1, и только тогда я вижу запрос, который пришел от User2.

Как запустить python скрипт в фоновом режиме?

Дмитрий, добавлю следующее. Когда я прописывал:

ExecStart=/bin/bash -c 'cd /home/myuser/tel-bot && /home/myuser/.local/share/virtualenvs/tel-bot-31zbdxgR/bin/python run.py'

то при остановке или перезагрузки службы, у меня скрипт не отрабатывал до конца (как это было при завершении обычной работы скрипта [ctrl + C])
Первую команду из ExecStart можно убрать. Просто в той же секции [Service] пишем:
WorkingDirectory=/home/myuser/tel-bot

В итоге скрипт норм завершается, получаем:

WorkingDirectory=/home/myuser/tel-bot
ExecStart=/bin/bash -c '/home/myuser/.local/share/virtualenvs/tel-bot-31zbdxgR/bin/python run.py'