Нужно, что бы каждая ошибка была в отдельном блоке alert
Попробуйте перебирая массив $arResult["ERRORS"] не пихать в него же данные и после, эту кучу выводить при каждом обороте "ShowError();" на экран.
Правильнее выводить сразу
<div class="alert alert-danger" role="alert">
<?echo str_replace("#FIELD_NAME#", """.GetMessage("REGISTER_FIELD_".$key).""", $error);?>
</div>
либо, в цикле вносить в отдельную переменную / добавлять в текущую, а после цикла выводить на экран вашей функцией ShowError();
