Не совсем понятна проблема, при грамотно настроенном проекте пути './' и '/' ведут одинаково.
При деплое на странице просто белый лист?
Есть вероятность что дело в том, что при деплое не правильно указан pablicPath, настроить его можно в корне проекта в файле vue.config.js
После изменений пересобрать. Также хочу обратить внимание, что после пересборки и деплоя на сервер изменения могут не сразу вступить в силу (как например на github-pages, это зависит от сервера), так что советую подождать какое-то время и проверить, а перед этим удостовериться что правильно ввели pablicPath.
// В файле vue.config.js
module.exports = {
publicPath: "/", // тут прописать необходимый путь
}