Gristen

$('#register').on('click',function (event)

советую сразу писать на чистом js и избегать jquery, она в нынешних реалиях уже не так сильно нужна, как раньше.

Router::post("/register/auth",\app\controllers\UsersController::class,"signUP");

полный путь к классу в коде - плохой тон, используй use

и как передавать данные между ajaxom и классами пхп .

в чем непонимание?
роут также принимает данные, только вместо отдачи html отдаешь json и на фронте уже пишешь логику на js

упрощенно:

Router::page("/register",'register',\app\controllers\UsersController::class,"index_register");

<code lang="php">
class UsersController extends Controller
{
    public function index_register()
    {
         // что-то делаешь с POST данными 

        $Model = new UsersModel();
        $res = $Model->register($_POST); 
        echo json_encode(['status': (int) $res]);
    }

    
</code>